Изменения
Нет описания правки
В математике '''убывающим факториалом''' (англ. ''falling factorial'') (иногда называется '''нисходящим факториалом''', '''постепенно убывающим факториалом''' или '''нижним факториалом''') обозначают:
:<tex>(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)</tex>
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
{{Определение
'''Растущий факториал''' (англ. ''rising factorial'') (иногда называется '''функцией Похгаммера''', '''многочленом Похгаммера''', '''восходящим факториалом''', '''постепенно растущим произведением''' или '''верхним факториалом''') определяется следующей формулой:
:<tex>x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k). </tex>
При <tex>n=0</tex> значение принимается равным <tex>1</tex> (пустое произведение).
}}
Грахам, Кнут и Паташник<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik in their book ''Concrete Mathematics'' (<tex>1988</tex>), Addison-Wesley, Reading MA. ISBN <tex>0-201-14236-8</tex>, pp. <tex>47</tex>,<tex>48</tex></ref> предложили произносить эти записи как "<tex>x</tex> растущий к <tex>m</tex>" и "<tex>x</tex> убывающий к <tex>m</tex>" соответственно.
Другие формы записи убывающего факториала: <tex>P(x,n)</tex>, <tex>^x P_n</tex>, ,<tex>P_{x,n}</tex> или <tex>_x P_n</tex>.
{{Определение
|definition=
}}
===Биномиальный коэффициент===
:<tex dpi=150>x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}} </tex>
Отношение двух символов Похгаммера определяется какможно выразить следующим образом:
:<tex dpi=150>\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i. </tex>
:<tex dpi=150>(x^{\underline)_{m+n}} = x^{\underlinex_{m}} (x-m)^{\underline_{n}}</tex>:<tex dpi=150>(x)_{m+-n} = \frac{1}{(x+1)_m (x+m2)_n</tex>:<tex dpi=150>(x)_{-n} = \frac{1}{cdots (x-+n)_n} = \frac{1}{(x-+1)^{\underline{n}}}</tex> :<tex dpi=150>x^{\underline{-n}} = \frac{1}{(x+1n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)}</tex>
====Числа Стирлинга первого рода====
