Изменения
Нет описания правки
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков нечестной монеты до первого выпадения 1.
# Найдите распределение и математическое ожидание следующей случайной величины: число бросков честной монеты до второго выпадения 1.
# Используя формулу Стирлинга $n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ оцените, чему равна вероятность, что на $2n$ брошенных честных монетах выпадет поровну нулей и единиц.
# Найдите математическое ожидание числа инверсий в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа подъемов в перестановке чисел от 1 до $n$
# Найдите математическое ожидание числа троек $i$, $j$, $k$, где $i < j < k$ и $a[i] < a[j] < a[k]$ в перестановке чисел от 1 до $n$
# Предложите метод генерации случайной перестановки порядка $n$ с равновероятным распределением всех перестановок, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $k$ для любых небольших $k$ ($k = O(n)$).
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[i], p[random(1..n)] )"
# Дает ли следующий метод равномерную генерацию всех перестановок? "p = [1, 2, ..., n]; for i from 1 to n: swap(p[random(1..n)], p[random(1..n)] )"
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$)
# Предложите метод генерации случайного сочетания из $n$ по $k$ с равновероятным распределением всех сочетаний, если мы умеем генерировать равномерно распределенное целое число от 1 до $t$ для любых небольших $t$ ($t = O(n)$), использующий $O(k)$ времени и памяти.
# Верно ли, что если $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то таким будут и $f(\xi)$ и $g(\eta)$ для любых функций $f$ и $g$?
# Постройте случайную величину, имеющую конечное математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
# Постройте случайную величину, имеющую бесконечное математическое ожидание и конечную дисперсию.
# Улучшить неравенство Маркова в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 1$ найдется такая неотрицательная случайная величина $\xi$, что $P(\xi \ge cE\xi) = 1/c$.
# Можно ли подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = 1/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Для какого максимального $\alpha$ можно подобрать такую неотрицательную случайную величину $\xi$, чтобы для двух различных $c_1 > 1$ и $c_2 > 1$ выполнялось $P(\xi \ge c_iE\xi) = \alpha/c_i$ ($i \in \{1, 2\}$)?
# Улучшить неравенство Чебышева в общем случае нельзя. Докажите, что для любого $c > 0$ найдется такая случайная величина $\xi$, что $P(|\xi - E\xi| \ge c) = D\xi/c^2$.
# Оцените вероятность, что значение на игральной кости отличается от матожидания больше чем на 2 с помощью неравенства Чебышева. Насколько точна эта оценка?
# Докажите, что вероятность того, что значения на двух нечестных игральных костях совпадает, не меньше $1/6$.
# Найдите дисперсию следующей случайной величины: число бросков честной монеты до $k$-го выпадения 1.
# Перемножим счетное число вероятностных пространств, соответствующих честным монетам. Что получится? Как бы вы ввели на результате вероятностную меру?
