693
правки
Изменения
→Примеры производящих функций
Рассмотрим производящие функции для различных комбинаторных последовательностей:
* <tex>\prod\limits_{ n = 1}^\infty(1-x^n)</tex> {{---}} производящая функция для разности количества разбиений числа <tex>n</tex> в четное и нечетное число различных слагаемых.Например коэффициент при <tex>x^5</tex> {{---}} <tex>+1</tex>, потому-что существует два разбиение на четное число различных слагаемых <tex>(4+1; 3+2)</tex> и одно на нечетное (<tex>5</tex>). Правильность этого легко осознать, если понять, что каждая скобка представляет какое-то слагаемое и мы можем его взять(второе слагаемое {{---}} <tex>-x^k</tex>) или не взять(первое {{---}} <tex>1</tex>). Эта производящая функция используется в комбинаторном доказательстве пентагональной теоремы.
<tex>=\dfrac{1}{1-x}\dfrac{1}{1-x^3}\dfrac{1}{1-x^5}\ldots=\prod\limits_{n=1}^\infty(1+x^{ 2n - 1})</tex>
== Примеры решений задач методом производящих функций ==
