Изменения

|statement=<tex>a_0, a_1, ..., a_n, ... </tex> задана линейной рекуррентой с <tex>k</tex> первыми заданными членами <tex>\Leftrightarrow</tex> её производящая функция <tex>FA(t)</tex> является дробно-рациональной, причём она представима в виде <tex>FA(t) = \frac{P(t)}{Q(t)}, deg Q(t) = k, deg P(t) < k</tex>

<tex>\Leftarrow)</tex>. Пусть <tex>A(t) = \frac{P(t)}{Q(t)}, deg Q(t) = k, deg P(t) < k</tex>. Тогда <tex>A(t) \cdot Q(t) = P(t)</tex>. Пусть <tex>Q(t)</tex> имеет вид <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - ... - c_k \cdot t^k</tex>. Так как <tex>deg P(t) < k, \forall n \geqslant k p_n = 0</tex>. Расписывая <tex>p_n</tex> по определению [[Арифметические действия с формальными степенными рядами#def_mul| произведения степенных рядов]], получаем <tex>\sum\limits_{i = 0}^n a_i \cdot q_{n - i} = 0</tex> Тогда <tex>a_n \cdot q_0 + a_{n - 1} \cdot q_1 + ... + a_{n - k} \cdot q_k + a_{n - k - 1} \cdot 0 + a_{n - k - 2} \cdot 0 + ... + a_{0} \cdot 0 = 0</tex> (так как <tex>deg Q(t) = k</tex>) Так как <tex>q_0 = 1</tex>, а <tex>\forall i: 1 \leqslant i \leqslant k: q_i = -c_i</tex> <tex>a_n - c_1 \cdot a_{n - 1} - ... -c_k \cdot a_{n - k} = 0</tex> Тогда <tex>a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + ... + c_k \cdot a_{n - k}</tex> <tex>\Rightarrow</tex>