137
правок
Изменения
→Примеры применения теоремы
== Примеры применения теоремы ==
* Вычислим производящую функцию последовательности <tex>a_0 = 1, a_n = a_{n - 1}</tex>*: Так как последовательность задана линейной рекуррентой, её производящая функция, согласно теореме, имеет вид <tex>F(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - x</tex> (так как <tex>c_1 = 1</tex>), а <tex>deg(P) < 2</tex>.*: Будем искать производящую функцию в виде <tex>F(t) = \dfrac{C}{1 - x}, C \in \mathbb{R}</tex>*: Пусть <tex>F(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots </tex>, тогда <tex>a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots = \dfrac{C}{1 - x}</tex>, следовательно <tex>(a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots) \cdot (1 - x) = C</tex>*: Пользуясь правилом перемножения формальных степенных рядов, получаем*: <tex> C = a_0 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1<tex>*: Следовательно, <tex> F(t) = \dfrac{1}{1 - x}<tex>
==См. также==
