78
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Матрицу <tex>Q</tex> называют '''непоглощающей'''(англ. ''not-absorbing''), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>\forall i : q_{ii} \neq 1</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь|поглощающими состояниями]] и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму'''(англ. ''canonical form''):
<tex>P = \begin{pmatrix}
Q & R \\
Теорема
|about=о поглощении
|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].
|proof=
\end{pmatrix}</tex> .
Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).
Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}
Пусть <tex>m = \max(m_i)</tex>, а <tex>p = \max(p_i)< 1</tex>
Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>\sum_sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, где <tex>q_{ij}^{m}</tex> — элемент матрицы <tex>Q^{m}</tex>.
В то же время, <tex>\sum_{j} {q^m_{ij}}\leqslant p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \infty</tex>, получим: <tex>\sum_{j} {q^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>
В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.
}}
== См.также ==
* [[Марковская цепь]]
* [[Эргодическая марковская цепь]]
* [[Регулярная марковская цепь]]
== Литература ==
* ''Дж. Кемени, Дж. Снелл '' — "Конечные цепи Маркова", издание "Наука", 1970г., стр. 62
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Марковские цепи ]]
