Изменения

Порядок соотношения — это его «глубина», то есть количество предшествующих элементов, требуемых для вычисления элемента с номером <tex>n</tex>. В данном случае порядок равен <tex>2</tex>, так как для вычисления <tex>a_n</tex> требуется знать <tex>a_{n-1}</tex> и <tex>a_{n-2}</tex>.

G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots,

с этой целью умножим верхнюю строчку в записи рекуррентного соотношения на <tex>z^0</tex>, следующую — на <tex>z^1</tex> и последнюю — на <tex>z^n</tex>:

z\cdot a...a_1&{}={}&0\cdot 1,\\...(z^n\cdot a_n&{}={}&5a_{n-1}-6a_{n-2})\cdot z^n, \quad n\geq2.\\

\underbrace{a_0 + a_1 z + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n}_{gG(z)......} &{}={}& z+5\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n-6\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n.

\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^n \stackrel{(1)}{=}z\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}z^{n-1} \stackrel{(2)}{=}z\displaystyle\sum_{...n=1}^{\infty}a_{n}z^n \stackrel{(3)}{=}..._z{\biggr( z\displaystyle\sum_{n=1}z^{\infty}a_{n}z^n+a_0}_{gG(z)} - a_0\biggr)\stackrel{(4)}{=}zgzG(z).

\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^n = z^2\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-2}z^{n-2}= z^2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}=z^2g2G(z).

\dfrac{1}{1-z} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots.

\dfrac{1}{1-3z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3z)^n \quad\mbox{ и }\quad \dfrac{1}{1-2z}= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(2z)^n.

G(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}3^nz^n - \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}2^nz^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(3^n-2^n)z^n.

G(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n,