Изменения
→Формула Эйлера
В выражении <tex>(*)</tex> при предельном переходе и получаем искомую формулу, обозначая <tex>C = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left ( \frac 1k - \int_{k}^{k + 1} \frac{dx}{x} \right )</tex>
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k - 1} \frac 1k = \ln 2</tex>
|proof=
Представленный ряд сходится, так как является рядом Лейбница. Пусть он сходится к <tex>S</tex>, тогда <tex>S_{2n} \rightarrow S</tex>, но:
:<tex>S_{2n} = 1 - \frac 12 + \dots + \frac 1{2n-1} - \frac 1{2n} = </tex>
:<tex>= (1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n - 1}) - \frac 12 (1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n) =</tex>
:<tex>= \left ( H_{2n} - \frac 12 \left ( 1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n \right ) \right ) - \frac 12 H_n = H_{2n} - H_n =</tex>
:<tex>= (\ln 2n + C + \gamma_{2n}) - (\ln n + C + \gamma_{n}) = \ln 2 + \gamma_{2n} - \gamma_{n} \rightarrow \ln 2</tex>
}}
