Изменения

Сдвигая индексациюВ последнем выражении выполним сдвиг индексации, положив <tex>n' = n + 1</tex>. Тогда имеем: <tex>n = n' - 1, n = 0 \Rightarrow n' = 1.</tex>. Кроме того, <tex>z^n = z^{n' - 1}</tex>. <tex>n - k</tex> преобразуется в <tex>n' - 1 - k</tex> (так как <tex>n' - 1 = n</tex>). Тогда, преобразуя предыдущее выражение, получаем:

<tex>G(z) \cdot G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}z^n \sum\limits_{k = 0}^{n} C_k C_{n - k} = \sum\limits_{n ' = 1}^{\infty}z^{n ' - 1} \sum\limits_{k = 0}^{n ' - 1} C_k C_{n ' - k - 1}</tex>

<tex>z \cdot G^2(z) = z \cdot \sum\limits_{n ' = 1}^{\infty}z^{n ' - 1} \sum\limits_{k = 0}^{n ' - 1} C_k C_{n ' - k - 1} = \sum\limits_{n ' = 1}^{\infty}z^{n'} \sum\limits_{k = 0}^{n ' - 1} C_k C_{n ' - k - 1} ~~~~ \textbf{(2)}</tex>