Изменения

Рассмотрим вершину <tex> u </tex> отличную от истока и стока. Изначально <tex> h(u) = 0 \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Покажем, что после любой операции подъёма <tex> h(u) \leqslant 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. Для того, чтобы мы имели право произвести операцию <tex> \mathrm{relabel}</tex><tex>(u) </tex>, вершина <tex> u </tex> должна быть переполнена. Тогда по [[#Лемма4|лемме (<tex>4)</tex>]] существует простой путь <tex> p </tex> из <tex> u </tex> в <tex> s </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex>. Рассмотрим этот путь. Пусть <tex> p = \left\langle v_0, v_1, \dots, v_k \right\rangle </tex>, где <tex> v_0 = u </tex> и <tex> v_k = s </tex>. Так как путь <tex> p </tex> простой, то <tex> k \leqslant \left\vert V \right\vert - 1 </tex>. По определению функции высоты имеем, что <tex> \forall i \in \{0, 1, \dots, k - 1\} </tex> <tex> h(v_i) \leqslant h(v_{i+1}) + 1</tex>. Но тогда для вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> верно, что <tex> h(u) \leqslant h(s) + \left\vert V \right\vert - 1 = 2 \cdot \left\vert V \right\vert - 1 </tex>