Изменения

Выберем из двух корней тот, чкоторый который удовлетворяет определению <tex>G(z)</tex> как производящей функции чисел Каталана. Домножая обе части на <tex>2z</tex>, получаем <tex>G(z) \cdot 2z = 1 \pm \sqrt{1-4z} \textbf{(3)}</tex> Выберем нужный из двух корней, посчитав значение обеих частей при <tex>z = 0</tex> Из определения производящей функции для чисел Каталана известно, что <tex>G(z) = C_0 + C_1 \cdot x + \ldots + C_n \cdot x^n + \ldots</tex>, тогда <tex>G(0) = C_0 = 1</tex> Тогда при <tex>z = 0</tex> выражение <tex>\textbf{(3)}</tex> принимает вид <tex>G(0) \cdot 2 \cdot 0 = 1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 0}</tex>, или <tex>0 = 1 \pm 1</tex>.  Тогда очевидно, нужно выбрать знак <tex>-</tex> в выражении, чтобы при <tex>z = 0</tex> левая и правая части были равны. Тогда <tex>G(z) = \dfrac{1 - \sqrt{1-4z}}{2z}</tex>