Изменения

<tex>\sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} c_{n,k} x^k y^n = \sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} \beginbinom{pmatrixn} n \\ {k \end{pmatrix} x^k y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\Big(\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k\Big) y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (1 + x)^n y^n = \dfrac{1}{1 - y - xy}</tex>

Второй способ соответсвует соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \dbinombinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид

<tex>\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \beginbinom{pmatrix} n + m \\ }{m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \sum\limits_{n + m = k} \beginbinom{pmatrix} n + m \\ }{n \end{pmatrix}