Изменения

Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140"> \tau : a = x_0 < x_1 < \hdots < x_n = b </tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением'' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). <tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> обозначим как длину текущего отрезка разбиения.

<tex>\operatorname{rang~ } \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex>

<tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]\ \ \ ~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex>

<tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется ''интегральной суммой Римана'' по разбиению <tex>\tau</tex>.

<tex dpi = "140">I= \lim\limits_{\operatorname{rang~ } \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right ) \stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0: \operatorname{rang~ } \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex>

Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение.

и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;