74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{Лемма
|id=lemma1.
|statement=Пусть последовательность <tex>a_0,a_1</tex>,... положительных чисел такова, что<tex>\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=A\frac{n^k+a_1n^{k-1}+...+a_k}{n^k+b_1n^{k-1}+...+b_k}</tex> для всех достаточно больших n, причем <tex>a_1\ne b_1</tex>|proof=доказательство (необязательно). Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n\sim cA^nn^{a_1-b_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
}}
'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз
'''Пример.''' Для чисел Каталана имеем
<tex>\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{4n+2}{n+2}=4\frac{n+\frac{1}{2}}{n+2}</tex>
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной c.
'''Пример.''' Найдем асимптотику коэффициентов для функции <tex>(a-s)^{\alpha}</tex>, где <tex>\alpha</tex> вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)</tex>.
