74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)</tex>.
Если a — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}</tex>
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.
