344
правки
Изменения
добавлена основная теорема арифметики
:Любое число можно представить в виде: <tex>n = m\,k + r,</tex> , где остаток <tex>r\,</tex> принимает значения от <tex>0\,</tex> до <tex>(m-1)\,</tex>
==Основная теорема арифметики==
===Лемма Евклида===
{{Лемма
|id=th1
|statement=
Если простое число <tex>p</tex> делит без остатка произведение двух целых чисел <tex>x\cdot y</tex>, то <tex>p</tex> делит <tex>x</tex> или <tex>y</tex>.
|proof=
Пусть <tex>x\cdot y</tex> делится на <tex>p</tex>, но <tex>x</tex> не делится на <tex>p</tex>. Тогда <tex>x</tex> и <tex>p</tex> — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что
: <tex>x\cdot u+p\cdot v=1</tex> ([[Наибольший общий делитель|соотношение Безу]]).
Умножая обе части на <tex>y</tex>, получаем
: <tex>(x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.</tex>
Оба слагаемых левой части делятся на <tex>p</tex>, значит, и правая часть делится на <tex>p</tex>, ч.т.д.
}}
===Основная теорема арифметики===
{{Теорема
|id=th666
|statement=
Каждое натуральное число <tex>n>1</tex> представляется в виде <tex>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</tex>, где <tex>p_1,\dots,p_k</tex> — [[простые числа]], причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
|proof=
'''Существование'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <tex>n</tex> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <tex>n</tex> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
'''Единственность'''. Пусть <tex>n</tex> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <tex>p</tex> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <tex>p</tex> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <tex>p</tex> и получить два разных разложения числа <tex>n/p</tex>, что невозможно. А если <tex>p</tex> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <tex>p</tex>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
}}
==Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел==
