689
правок
Изменения
+теорема Ролля
{{Определение
|definition=
Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального минимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \ge f(x_0)</tex>.<br />Точка <tex> x_0 </tex> называется '''точкой локального максимума''', если <tex> \forall x \in \dot{O}(x_0) \ f(x) \le f(x_0)</tex>.
}}
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> - точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
<texdpi= "150"> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.
Заметим, что, по определению локального минимума, <tex> f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \ge 0 </tex>.
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>.}} Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, <tex> y(x) = x^3, y'(0) = 0,</tex> но <tex> y(0) </tex> - не экстремум. {{Определение|definition=Корень уравнения <tex>f'(x) = 0</tex> называется '''стационарной точкой'''.}} = Теорема Ролля о нулях производной = {{Теорема|author=Ролль|statement=Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, дифференцируема на <tex>(a, b)</tex> и <tex>f(a) = f(b)</tex>. Тогда существует точка <tex> c \in (a; b)</tex>, такая, что <tex> f'(c) = 0</tex>.|proof= <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть <tex> x_1 </tex> - точка минимума, <tex> x_2 </tex> - точка максимума. Рассмотрим 2 случая: 1) Обе точки граничные, то есть <tex> x_1, x_2 </tex> находятся на концах отрезка. Тогда, так как <tex> f(a) = f(b) </tex>, то <tex> f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] </tex>. Значит, <tex> f(x) </tex> на <tex> [a; b] </tex> - константа, то есть <tex>\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0</tex> 2) Хотя бы одна из точек <tex> x_1, x_2 </tex> не граничная. Пусть это, например, <tex> x_1 </tex>. Тогда по теореме Ферма <tex> f'(x_1) = 0</tex>.
}}
