689
правок
Изменения
+теорема Дарбу
Ролль
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, дифференцируема на <tex>(a, b)</tex> и <tex>f(a) = f(b)</tex>. Тогда существует точка <tex> c \in (a; b)</tex>, такая, что <tex> f'(c) = 0</tex>.
|proof=
<tex> f(x) </tex> непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, значит, у нее на этом отрезке существуют минимум и максимум. Пусть <tex> x_1 </tex> {{- --}} точка минимума, <tex> x_2 </tex> {{--- }} точка максимума.
Рассмотрим 2 случая:
2) Хотя бы одна из точек <tex> x_1, x_2 </tex> не граничная. Пусть это, например, <tex> x_1 </tex>. Тогда по теореме Ферма <tex> f'(x_1) = 0</tex>.
}}
Замечание: для непрерывной функции на заданном отрезке ей принимаются все значения между двумя граничными значениями. Такое же свойство выполняется и для ее производной, хотя она может быть уже разрывной.
= Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной =
{{Теорема
|author=
Дарбу
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> дифференцируема на <tex> [x_1; x_2], A = f'(x_1), B = f'(x_2)</tex>. Тогда <tex> \forall D \in [A; B] \ \exists d \in [x_1; x_2]: D = f'(d) </tex>
|proof=
Для определенности считаем, что <tex> A < B </tex>, обратный случай доказывается аналогично.
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> g(x) = f(x) - Dx; g'(x) = f'(x) - D </tex>
<tex> D \in [A; B] \Rightarrow g'(x_1) < 0, g'(x_2) > 0 </tex>.
По определению производной, <tex dpi = '150'> g(x_1) = \frac{g(x_1 + \Delta x) - g(x_1)}{\Delta x} </tex>
При <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x > 0 \ g(x_1 + \Delta x) < g(x_1) </tex>
Аналогично рассмотрим <tex> g'(x_2) </tex>: при <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x < 0 \ g(x_2 + \Delta x) < g(x_2) </tex>
Функция <tex> g(x) </tex> - дифференцируема, а значит, также и непрерывна на <tex> [x_1, x_2] </tex>, поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.
Пусть оно достигается в точке <tex> d \in (x_1; x_2) </tex>, тогда по теореме Ферма в этой точке <tex> g'(d) = 0</tex>. Значит, <tex> f'(d) = g'(d) + D = D </tex>.
}}
== Формула конечных приращений Лагранжа ==
{{Теорема
|author=
Лагранж
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируема на <tex> (a; b) </tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) </tex>
|proof=
потом допилю
}}
