344
правки
Изменения
→Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа
n_2 s({\tilde{l_1^2}}s^2 + 2\tilde{l_1}\tilde{l_2}s^3 + \ldots) +
n_3s({\tilde{l_1^3}}s + \ldots) + \ldots </tex>
Докажем сначала, что если функция <tex> \tilde{l} (s)</tex> задана, то <tex>n(t)</tex> однозначно восстанавливается по ней. Доказательство проведем по индукции, приравнивая последовательно коэффициенты при одинаковых степенях <tex>s</tex> в левой и правой частях.
<tex> n_k\, \tilde{l_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_k}. </tex>
Здесь через <tex>\lambda_i, \, i = 2, \ldots, k-1, </tex> обозначены коэффиценты при <tex>s^{k}</tex> в производящих функциях <tex> \tilde{l^i} (s) </tex>. Уравнение
<tex> n_k\, \tilde{l_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_k}. </tex>
— линейное уравнение относительно <tex> n_k </tex>. Коэффициент при <tex> n_k </tex> в нем равен <tex>\tilde{l_1^k} </tex> и, по
условию теоремы, отличен от нуля. Поэтому <tex> n_k </tex> однозначно определяется из уравнения
<tex> n_k\, \tilde{l_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_k}. </tex>
С другой стороны, если задана функция <tex>n(t)</tex>, то мы должны положить <tex>\tilde{l_1} = n_0</tex>. Коэффициенты <tex>\tilde{l_k} </tex> определяются теперь равенством
<tex> n_k\, \tilde{l_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_k}, </tex> так как все оэффициенты <tex>\lambda_i</tex> являются многочленами от <tex>\\tilde{l_1}}, \ldots, \tilde{l_{k-1}}</tex>.
}}
