344
правки
Изменения
→Уравнение Лагранжа и теорема Лагранжа
Коэффицент <tex>n_0</tex> определяется равенством <tex>n_0 = \tilde{l_1}</tex>. Предположим теперь, что коэффициенты <tex>n_0, n_1, \ldots, n_{k-1}</tex> уже определены. Тогда коэффициент <tex>n_k</tex> определяется из уравнения, составленного приравниванием коэффициентов при <tex>s^{k+1}</tex>:
<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>
Здесь через <tex>\lambda_i, \, i = 2, \ldots, k-1, </tex> обозначены коэффиценты при <tex>s^{k}</tex> в производящих функциях <tex> \tilde{l}^i} (s) </tex>. Уравнение
<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>
— линейное уравнение относительно <tex> n_k </tex>. Коэффициент при <tex> n_k </tex> в нем равен <tex>\tilde{l_1l}_1^k} </tex> и, по
условию теоремы, отличен от нуля. Поэтому <tex> n_k </tex> однозначно определяется из уравнения
<tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k. </tex>
С другой стороны, если задана функция <tex>n(t)</tex>, то мы должны положить <tex>\tilde{l_1l} _1 = n_0</tex>. Коэффициенты <tex>\tilde{l_kl} _k </tex> определяются теперь равенством <tex> n_k\, \tilde{l_1l}_1^k} + n_{k-1}\, \lambda_{k-1} + \ldots + n_1\, \lambda_1 = \tilde{l_kl}_k, </tex> так как все оэффициенты <tex>\lambda_i</tex> являются многочленами от
<tex> \tilde{l}_1, \ldots, \tilde{l}_{k-1} </tex>.
}}
