74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{Лемма
|id=lemma1.
|statement=Пусть последовательность <tex>a_0,a_1,...</tex> положительных чисел такова, что <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+...+\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+...+\beta_k}(4.1)</tex> для всех достаточно больших n, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}(4.2)</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.|proof=Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>.<br>Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n</tex>.
<br>
Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>\epsilon>0</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3+...)</tex>.
Если a <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда (4.3) имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}</tex>
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.
