74
правки
Изменения
м
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>Поскольку ряд <tex>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>, см рис. 4.1 [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.png]] (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {n+m-1} - \ln {n - 1}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {n+m-1} - \ln {n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln n)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}| < |\ln {1 - \frac{1}{n}}| < C \frac{1}{n}</tex>.
Нет описания правки
|proof=
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n</tex>.
Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>\epsilon>0</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных m
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m)\ln A + n\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>,
или
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n|<\epsilon</tex>.
Перепишем отношение <tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<tex>\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1}+...+\beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})</tex>,
где
<tex>f(x)=\frac{1+\alpha_1 x+...+\alpha_k x^k}{1+\beta_1 x+...+\beta_k x^k}</tex>
Прологарифмировав (4.7), получаем
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})</tex>.
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции f, определенной формулой (4.8), в ряд в точке 0:
<tex>f(x)=1+(\alpha_1-\beta_1)x+\gamma x^2+...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1 - \beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции f имеем <tex>\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2+...</tex>. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если N достаточно велико, то <tex>∀ n>N</tex>
<tex>|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n}|<C \frac{1}{n^2}</tex>,
<tex>|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}|<C \frac{1}{(n+1)^2}</tex>,
<tex>........</tex>
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|<C \frac{1}{(n+m)^2}</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (4.6) можно оценить с помощью системы (4.10) и неравенства треугольника:
<tex>| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| = | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln n)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n |</tex>.
}}
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.
== См. также ==
* [[Производящая функция Дирихле]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
* [https://www.mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf Ландо С.А., Лекции о производящих функциях, 2007 год]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
