Изменения

Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <texdpi="180">\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.

<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum_sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \le</tex>

<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \le</tex>

<tex>\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_sum\limits_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.

Поскольку ряд <tex>\sum_sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,