74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
|id=lemma1.
|statement=
Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex dpi="180">\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \ldots +\beta_k}</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.
|proof=
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim_{n \to \infty} {\fraccfrac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_{n \to \infty} { \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n }</tex>.
Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>ε > 0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex>
<tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \ln {(n+m)} + (\alpha_1-\beta_1) \ln n| < ε (*)</tex>
Перепишем отношение <tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\fraccfrac{1+\alpha_1 n^{-1} + \ldots + \alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1} + \ldots + \beta_k n^{-k}}=Af(\fraccfrac{1}{n})</tex>,
где
<tex>f(x)=\fraccfrac{1+\alpha_1 x + \ldots + \alpha_k x^k}{1+\beta_1 x + \ldots + \beta_k x^k}</tex>
Прологарифмировав отношение <tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\fraccfrac{1}{n})</tex>.
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|<Cx^2</tex>. В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>∀ n>N</tex>
<tex>|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n}|<C \fraccfrac{1}{n^2}</tex>,
<tex>|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n+1}|<C \fraccfrac{1}{(n+1)^2}</tex>,
<tex>\ldots</tex>
<tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n+m}|<C \fraccfrac{1}{(n+m)^2}</tex>.
Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>(*)</tex> можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>:
<tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - </tex>
<tex> - (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \leqslant</tex>
<tex>\leqslant | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n+1}| +</tex>
<tex>\ldots</tex>
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \fraccfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant</tex>
<tex>\leqslant C(\fraccfrac{1}{n^2} + \fraccfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \fraccfrac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \fraccfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\fraccfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
[[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|center|График функции <tex>y = \fraccfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n + m]</tex>]]
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \fraccfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \fraccfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>y = \fraccfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| = | \ln {(1 - \fraccfrac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \fraccfrac{1}{n})}| < |\ln {(1 - \fraccfrac{1}{n})}| < C \fraccfrac{1}{n}</tex>.
}}
'''Пример.''' Для [[Числа Каталана|чисел Каталана]] имеем
<tex>\fraccfrac{c_{n+1}}{c_n}=\fraccfrac{4n+2}{n+2}=4\fraccfrac{n+\fraccfrac{1}{2}}{n+2}</tex>
Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\fraccfrac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\fraccfrac{s}{a})^2} - \fraccfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\fraccfrac{s}{a})^3 + \ldots)</tex>.
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \fraccfrac{\alpha(\alpha-1) \ldots (\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}</tex>
<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fraccfrac{1}{a} \fraccfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s)^{\frac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].
