74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n )}</tex>.
Для доказательства существования предела применим критерий Коши[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши], т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>. Фундаментальность последовательности означает, что для любого <tex>ε > 0</tex> существует такой номер <tex>N</tex>, что для всех <tex>n > N</tex> и всех положительных <tex>m</tex> <tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m) \ln A + n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n| < ε</tex> или <tex>|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \ln {(n+m)} + (\alpha_1-\beta_1) \ln n| < ε (*)</tex>
Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
