Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени <tex>n</tex> с комплексными коэффициентами имеет ровно <tex>n</tex> комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.
==Операции сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня==
===Сложение===
{{Определение
|definition=
'''Сложение''' — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) <tex>a</tex> и <tex>b</tex> сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: <tex>a + b</tex>.
}}
Сложение обладает следующими свойствами:
* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a + b = b + a</tex>
* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a + b) + c = a + (b + c)</tex>
===Вычитание===
{{Определение
|definition=
'''Вычитание''' — бинарная операция, обратная сложению.
}}
Таким образом, выражение <tex>c - b = a</tex> можно переписать в виде <tex>a + b = c</tex>.
===Умножение===
{{Определение
|definition=
В арифметике под '''умножением''' понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись <tex>5 \cdot 3</tex> обозначает «сложить три пятёрки», то есть является просто краткой записью для <tex>5 + 5 + 5</tex>. Результат умножения называется ''произведением'', а умножаемые числа — ''множителями'' или ''сомножителями''.
}}
Умножение обладает следующими свойствами:
* коммутативностью (''переместительный закон''): <tex>a \cdot b = b \cdot a</tex>
* ассоциативностью (''сочетательный закон''): <tex>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)</tex>
* существованием обратного элемента: <tex>a \cdot 1 = a</tex>
* дистрибутивностью относительно умножения (''распределительный закон''): <tex>a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c</tex>
===Деление===
{{Определение
|definition=
'''Деле́ние''' (операция деления) — одно из арифметических действий, обратное умножению. Деление — это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое.
}}
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторенное сложение, деление заменяет неоднократно повторенное вычитание.
Рассмотрим, например, такой вопрос:
'''Сколько раз 3 содержится в 14?'''
Повторяя операцию вычитания <tex>3</tex> из <tex>14,</tex> мы находим, что <tex>3</tex> «входит» в <tex>14</tex> четыре раза, и ещё «остаётся» число <tex>2</tex>.
В этом случае число <tex>14</tex> называется '''делимым''', число <tex>3</tex> — '''делителем''', число <tex>4</tex> — '''(неполным) частным''' и число <tex>2</tex> — '''остатком (от деления)'''.
Результат деления также называют '''отношением'''.
===Извлечение корня===
[[Категория: Классы чисел]]
{{Определение
|definition=
'''Арифметический корень n-ой степени''' <tex>(n > 0)</tex> из числа <tex>a</tex> — это такое число <tex>b</tex>, что <tex>b^n = a</tex>.
}}В поле действительных чисел корень имеет только одно решение или ни одного, если это корень чётной степени из отрицательного числа. В поле комплексных чисел корень <tex>n</tex>-ой степени имеет <tex>n</tex> решений. Обозначается символом <tex>\sqrt[n]{\ }</tex>.
Арифметический корень 2-ой степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: <tex>\sqrt{\ }</tex>.
Арифметический корень 3-ей степени называется кубическим корнем.
== См. также ==
[[Категория: Теория чисел]]
[[Категория: Классы чисел]]
