74
правки
Изменения
м
Нет описания правки
Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>,
где
Прологарифмировав отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex>, получаем
<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>.
Посмотрим на функцию <tex>\ln f(x)</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции <tex>f</tex> в ряд в точке <tex>0</tex>:
<tex>+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \leqslant</tex>
<tex>\leqslant C \cdot \left(\cfrac{1}{n^2} + \cfrac{1}{(n+1)^2} + \ldots + \cfrac{1}{(n+m-1)^2}\right) + | \alpha_1 - \beta_1 | \cdot | \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |</tex>.
Поскольку ряд <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \cfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n</tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\cfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>,
(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| =</tex>
<tex>= | \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n+m}\right)} - \ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)}| <</tex><tex>< |\ln {\left(1 - \cfrac{1}{n}\right)}| < C \cdot \cfrac{1}{n}</tex>.
}}
уже известна, например, при <tex>\alpha=−1</tex>. Согласно определению функции <tex>(1-s)^{\alpha}</tex> имеем
<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1-\cfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha} \cdot \left(1 - \cfrac{\alpha}{1!} \cdot \cfrac{s}{a} + \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1)}{2!} \cdot {\left(\cfrac{s}{a}\right)^2} - \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot (\alpha-2)}{3!} \cdot \left(\cfrac{s}{a}\right)^3 + \ldots\right)</tex>.
Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае , начиная с некоторого номера , все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при <tex>a_n=(-1)^n \cdot \cfrac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n! \cdot {\alpha}^n}:</tex>
<tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=\cfrac{1}{a} \cdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>
