Изменения

Последовательность, в которой отношение двух соседних членов <tex>\cfrac {A(n + 1)}{A(n)}</tex> равно отношению многочленов степени <tex>nk</tex>, где <tex>n k > 0</tex> и многочленом степени <tex>n</tex> называется такая сумма <tex>a_0 + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + \ldots + a_n \cdot x^n</tex>, в которой a_i - фиксированный коэффициент, x - переменнаяпорядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической''' (англ. ''hypergeometric sequence'').

Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С обратной стороны из определения существования предела на бесконечности следует, что он равен какому-то <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = сc</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n )}</tex>.