Изменения

Если <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} [[метрическое пространство]], то <tex>\forall \ Y \subset X : (Y, \rho)</tex>, очевидно, тоже метрическое пространство.

{{Определение|definition = Пусть <tex>x \in A</tex>. Тогда <tex>A</tex> {{---}} '''окрестность ''' точки <tex>x</tex>, если существует открытый шар <tex>V: x \in V \subset A </tex>. При этом <tex>A \backslash x</tex> называется '''проколотой окрестностью''' точки <tex>x</tex>.}}

Окрестность точки <tex>x</tex> обозначается как <tex>O(x)</tex> , ее проколотая окрестность {{---}} окрестность точки <tex>\dot{O}(x)</tex>.

<tex>X = Y = \mathbb R : , f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a</tex> {{---}} предельная точка.:: Тогда <tex>\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = b\ \Leftrightarrow\ \forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \varepsilon </tex>.

 Итак, <tex>\Rightarrow</tex> сложная фукнция от двух непрерывных {{---}} непрерывна.

: Пусть задана <tex> f: X \rightarrow R_+, f(x) = \rho(x, a) </tex>: Проверим, что <tex> \forall x_0\ f: X \rightarrow R_+ (x_0) </tex>Проверим, что \forall x f - непрерывное отображение.

Воспользуемся свойством метрического пространства - неравенством треугольника:  <tex> \rho(x_2, a) <= \le \rho(x_1, a) + \rho(x_2, x_1) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_2, a) - \rho(x_1, a) \le \rho(x_2, x_1) </tex> : <tex> \rho(x_1, a) <= \le \rho(x_2, a) + \rho(x_1, x_2) \ \Leftrightarrow\ \rho(x_1, a) - \rho(x_2, a) \le \rho(x_1, x_2) </tex>: Отсюда, <tex> |\rho(x_2, a) - \rho(x_1, a)| <= \le \rho(x_2, x_1, a) - </tex>. <tex> f(x_2) = \rho(x_2, a) <, f(x_1) = \rho(x_2x_1, x_1a) </tex>: , значит, <tex> |f(x_2) - f(x_1)| <= \le \rho(x_2, x_1) </tex> Полагаем в этом неравенстве <tex> x_1 = x, x_2 = x_0 </tex> и обращаемся к определению непрерывного отображения: <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists \delta: 0 < \rho(x , x_0) < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x) | < \varepsilon</tex> непрерывнаИз неравенства напрямую следует, что условие выполняется при <tex> \delta = \varepsilon </tex> - используем определение непрерывности отображения, полагаем в предыдущем неравенстве поэтому <tex> x_1 = x, x_2 = \forall x_0 </tex>\Rightarrow f(мы доказываем непрерывность в точке <tex> x_0 ) </tex>) и радуемся жизнинепрерывна.

:<tex> f(x) = \rho(x, A) =(def) \inf \limits_{a \in A} \rho(x, a), a \in A </tex> - расстояние от x до A.

<tex> \forall x_0\ f(xx_0) = \rho(x_0, A) </tex> - непрерывна, .

<tex> f(xx_1) <= \le \rho(xx_1, aа)\le \rho(x_2, a A) + \in A rho(x_2, x_1) </tex>: По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists a^* \in A: \rho(x, a^*) < \rho(x_1x, A) + \varepsilon<= /tex>, значит, <tex>f(x_1) \le \rho(x_2, A) + \varepsilon + \rho(x_2, x_1) </tex>. : Делая предельный переход при <tex> \rhovarepsilon \rightarrow 0</tex>, получаем неравенство <tex> f(x_2, Ax_1) <= \le \rho(x_1x_2, A) + \rho(x_2, x_1) </tex>.: Аналогично, <tex> |\rhof(x_1, Ax_2) - \le \rho(x_2x_1, A)| <= + \rho(x_1, x_2) \Rightarrow f(x) </tex> непрерывна при?????. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему доказательству непрерывности.