Изменения
Нет описания правки
# Докажите, что не существует графов с $\kappa(G) = 3$ и $7$ ребрами.
# Пусть $G$ - полный двудольный граф, за исключением $K_{2,2}$. Докажите $\lambda(G)=\delta(G)$, почем единственный способ удалить $\lambda(G)$ ребер, чтобы граф потерял связность - удалить все ребра, инцидентные одной из вершин.
# Посчитать хроматический многочлен цикла $C_n$
# Посчитать хроматический многочлен колеса $C_n + K_1$.
# Посчитать хроматический многочлен полного двудольного графа $K_{n,m}$.
# Докажите, что хроматический многочлен дерева равен $t(t-1)^{n - 1}$.
# Докажите, что если хроматический многочлен графа равен $t(t-1)^{n - 1}$, то граф является деревом.
# Приведите пример двух графов, которые не являются деревьями, не являются изоморфными и имеют одинаковые хроматические многочлены.
# Докажите, что если длина максимального простого нечетного цикла в $G$ есть $k$, то $\chi(G)\le k + 1$.
# Если степени вершин графа $G$ равны $d_1 \ge d_2 \ge \ldots \ge d_n$, то $\chi(G)\le \max\min\{i, d_i+1\}$.
# Докажите или опровергните, что если граф $G$ с $n$ вершинами содержит гамильтонов цикл, причем ему принадлежат не все ребра графа, то (а) $\chi(G) \le 1 + n/2$ (б) $\chi(G) \ge 1 + n/2$ .
# Хроматическое число конъюнкции $G_1\wedge G_2$ графов $G_1$ и $G_2$ двух графов не превосходит хроматических чисел этих графов.
# Докажите, что $K_{n+1}$ является единственным регулярным графом степени $n$, который имеет хроматическое число $n+1$.
# Рассмотрим связный граф $G$, не являющийся простым циклом нечетной длины, все простые циклы которого нечетный. Обозначим как $\chi'(G)$ минимальное число цветов, в которое можно раскрасить ребра граф $G$, чтобы ни в какую вершину не входило ребер одного цвета. Докажите, что $\chi'(G)=\Delta(G)$.
# Доказать формулу Зыкова для хроматического многочлена графа $G$: $P_G(x)=\sum\limits_{i=1}^n pt(G,i)x^{\underline{i}}$, где $pt(G,i)$ — число способов разбить вершины $G$ на $i$ независимых множеств.
# Доказать формулу Уитни: пусть $G$ - обыкновенный $(n, m)$ - граф. Тогда коэффициент при $x^i$, где $1\le i\le n$ в хроматическом многочлене $P_G(x)$ равен $\sum \limits_{j=0}^{m}{(-1)^jN(i, j)}$, где $N(i, j)$ - число остовных подграфов графа $G$, имеющих $i$ компонент связности и $j$ рёбер.
