286
правок
Изменения
Нет описания правки
Вернемся к доказательству нашей теоремы. Будем пытаться доказать от противного. Пусть у нас существует граф, который требует хотя бы 5 цветов для раскраски. Среди всех таких графов существует минимальный, то есть такой, что удаление любой вершины из него делает его 4-раскрашиваемым. Тогда в таком графе не может быть вершины степени <tex> \leqslant 3</tex>, так как иначе мы может просто удалить ее из графа, раскрасить полученный граф в 4 цвета, вернуть удаленную вершину и покрасить ее в один из цветов, не занятых соседями. Аналогично [[Хроматическое_число_планарного_графа#Раскраска_в_5_цветов|теореме Хивуда]] доказывается, что удалив вершину степени <tex>4</tex> также всегда можно раскрасить граф в 4 цвета. Следовательно и таких вершин в искомом графе нет. Для вершины степени 5 Кемпе попытался доказать аналогичное утверждение, но это утверждение и было опровергнуто Хивудом.
На этом этапе мы и натыкаемся на самую сложную часть доказательства. Имея дело с случаем вершины степени 5, требуются более сложные операции, чем удаление вершины. Тогда вместо 1 вершины будем рассматривать связанный подграф из нескольких вершин (назовем его конфигурацией). Тогда для некоторых случаев, как и прежде, достаточно продемонстрировать, что если при удалении конфигурации граф 4-раскрашиваемый, то окраска может быть изменена таким образом, что при возвращении конфигурации граф также можно раскрасить в 4 цвета. Конфигурации для которых это возможно назовем сводимыми. Например, конфигурация состоящая из 1 вершины степени <tex>\leqslant 4</tex> является сводимой (было доказано выше). Конфигурации для которых это возможно назовем сводимыми. Неизбежными конфигурациями назовем такие множества конфигураций, что хотя бы одна из конфигураций этого множества обязана быть в нашем графе.
Следовательно, нам осталось найти набор всех неизбежных конфигураций и доказать, что с ними граф все равно 4-раскрашиваем. Основным методом, используемым, чтобы обнаружить такой набор является [https://en.wikipedia.org/wiki/Discharging_method_(discrete_mathematics) метод разрядки]
