48
правок
Изменения
Нет описания правки
}}
===Пример = Пример==Поскольку доказательство теоремы конструктивно, то используя правила перехода, описанные в ней, можно преобразовать любую КС-грамматику в МП-автомат. Рассмотрим грамматику слов над алфавитом <tex>\{0, 1\}</tex>, в которых одинаковое количество нулей и единиц:: <tex> S \rightarrow 0S1 </tex>: <tex> S \rightarrow 1S0 </tex>: <tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>Множеством терминалов является <tex>\Sigma = \{0, 1\}</tex>, а нетерминалов {{---}} <tex>N = \{S\}</tex>. Таким образом, стековый алфавит состоит из <tex>0, 1, S</tex>. Функция переходов <tex>\delta</tex> определена следующим образом: : <tex>\delta(q, \varepsilon, S) = \{(q, 0S1), (q, 1S0), (q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии с первым пунктом построения <tex>\delta</tex>) : <tex> \delta(q, 0, 0)= \{(q, \varepsilon)\}</tex>; <tex> \delta(q, 1, 1)= \{(q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии со вторым пунктом построения <tex>\delta</tex>) Получившийся автомат: [[Файл:Example1. png]] ==Построение КС-грамматики по МП-автомату =={{Теорема|id =th2Преобразуем |statement = Класс языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, является подмножеством класса контекстно-свободных языков <tex>(\mathrm{CFG})</tex>, то есть по любому МП-автомату можно построить КС-грамматику, задающую тот же язык, что и допускаемый автоматом.|proof = Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому стеку <tex>A = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in Q, z_0, \delta \rangle</tex>. Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности. Построим эквивалентную ему КС-грамматику выражений <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (где <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в МПпроцессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> удаляется с вершины стека, не затрагивая то, что находится ниже. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, <tex>N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>. Правила вывода <tex>P</tex> построим следующим образом: * для каждого состояния <tex>p \in Q</tex> добавим правило <tex>S \rightarrow [q_0 z_0 p]</tex>;* для каждого перехода <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>[r_1, r_2 \ldots r_k] \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k -1} \gamma_k r_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X r_0] \rightarrow a</tex>, если <tex>k = 0</tex>. Нетерминал <tex>[pXq]</tex> должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автоматиз состояния <tex>(p, X)</tex> в <tex>(q, \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение: ;Пусть дана грамматика<tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.:Докажем, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, используя индукцию по числу переходов в автомате.:*'''База:'''<br> Пусть выполняется только один переход.<br> Тогда длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex> I (q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.:*'''Индукционный переход:'''<br> Предположим, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p, w, X) \vdash (r_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, где <tex>w = ax</tex> (<tex>a|b|I1|I0|Ia|Ib </tex>{{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\varepsilon</tex>). Значит, <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. По построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>, что <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = r_k</tex>. Заметим, что все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex> для всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан. ;Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>.: Докажем, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, используя индукцию по числу шагов в порождении.:*'''База:''' <br> Пусть <tex> E [pXq] \Rightarrow^* w</tex> за один шаг.<br> Тогда в <tex>\Gamma</tex> должно быть правило вывода <tex>[pXq] \rightarrow I|Ew</tex>, а значит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. Таким образом, <tex>(p, w, X) \vdash^*E|E+E|(Eq, \varepsilon, \varepsilon) </tex>.Множеством входных символов является :*'''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex> [p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>r_k = q</tex> и <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a,bX)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w = a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов,то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Собирая всё вместе, получаем <tex>(r_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^* (r_k, \varepsilon,0\varepsilon)</tex>. Так как <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Таким образом, мы доказали,что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w,X)\vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Заметим, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex> тогда и только тогда,+когда найдётся <tex>p</tex>,что <tex>[q_0 z_0 p] \Rightarrow^*w</tex>. По доказанному выше это равносильно тому, что <tex>(q_0, w, z_0) \vdash^* (p, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то есть что <tex>A</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому стеку. Суммируя всё вышесказанное, получаем, что построенная грамматика <tex>\Gamma</tex> порождает слово <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда оно допускается автоматом <tex>A</tex>.}} === Пример ===Пусть у нас имеется МП-автомат <tex>A = \langle \{i,e\}, \{Z\}, \{q\}, q, Z, \delta \rangle</tex>, функция <tex>\delta</tex> задана следующим образом::<tex>\delta(q, i, Z) = \{(q, ZZ)\}</tex>:<tex>\delta(q, e, Z) = \{(q, \varepsilon)\} </tex> [[Файл:Example2. Эти символыpng]] Так как стековый алфавит <tex>A</tex> содержит лишь один символ и одно состояние, вместе то в построенной грамматике будет лишь 2 нетерминала: *<tex>S</tex> — стартовый нетерминал. *<tex>[qZq]</tex> — единственная тройка, которую можно собрать из состояний автомата и символов стекового алфавита. Также грамматика имеет следующие правила вывода:* Единственной продукцией для <tex>S</tex> является <tex>S \rightarrow [qZq]</tex>. Но если бы у автомата было <tex>n</tex> состояний, то тут бы имелось и <tex>n</tex> продукций.* Из того факта, что <tex>\delta(q, i, Z)</tex> содержит <tex>(q, ZZ)</tex>, получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow i[qZq][qZq]</tex>. Если бы у автомата было <tex>n</tex> состояний, то такой переход порождал бы <tex>n^2</tex> продукций.* Из <tex>\delta(q,e,Z)=\{(q,\varepsilon)\}</tex> получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow e</tex>Для удобства тройку <tex>[qZq]</tex> можно заменить символом <tex>A</tex>, в таком случае правила вывода в грамматике будут следующие::<tex>S \rightarrow A</tex>:<tex>A \rightarrow iAA</tex>:<tex>A \rightarrow e</tex>Упростим грамматику, заменив <tex>A</tex> на <tex>S</tex> (очевидно, она не поменяется), и получим в результате <tex>\Gamma = \langle\{i,e\}, \{S\}, S, \{S \rightarrow iSS | e\}\rangle</tex> == Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков=={{Теорема|about = об эквивалентности языков МП-автоматов и КС-языков|statement = Множество языков, допускаемых МП-автоматами, совпадает с переменными множеством контекстно-свободных языков.|proof = [[#th1 | Первая теорема]] гласит, что <tex> \mathrm{CFG} \subseteq \mathrm{PDA} </tex>, а [[#th2 | вторая]] {{---}} что <tex> \mathrm{PDA} \subseteq \mathrm{CFG} </tex>. Таким образом, <tex> \mathrm{PDA} = \mathrm{CFG} </tex> I.}} == Следствия =={{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат с одним состоянием.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Заметим, что этот автомат будет иметь одно состояние, что и требовалось доказать.}} {{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат, в любом переходе которого на стек кладётся не больше двух символов.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату и приведём её к [[Нормальная форма Хомского | нормальной форме Хомского]]. Затем по полученной грамматике построим МП-автомат,E как указано выше. Заметим, что в нормальной форме Хомского правые части всех правил имеют длину не больше двух, поэтому в любом переходе в полученном автомате на стек кладётся не больше двух символов.}} {{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата существует эквивалентный МП-автомат с допуском по пустому стеку без <tex>\varepsilon</tex>-переходов.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, образуют магазинный алфавитзатем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Функция Заметим, что этот автомат не будет иметь <tex>\varepsilon</tex>-переходов определена следующим образом, что и требовалось доказать.}}== См. также ==*[[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | Контекстно-свободные грамматики]]*[[Автоматы с магазинной памятью | Автоматы с магазинной памятью]] == Источники информации ==*[https://en.wikipedia.org/wiki/Pushdown_automaton#PDA_and_context-free_languages Wikipedia — PDA and context-free languages]* Введение в теорию автоматов, языков и вычислений / Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. с. 251.— ISBN 5-8459-0261-4 [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Контекстно-свободные грамматики]][[Категория: МП-автоматы]]