Изменения

{{Определение|definition =Пусть <tex>\xi</tex> является случайной величиной, а <tex>A</tex> {{---}} ее множеством значений. Функция <tex>P: 2^A \rightarrow \mathbb R,</tex> определенная как <tex>P(B) = P(\xi \in B),</tex> называется '''распределением случайной величины'''(англ. 'Распределение — 'probability distribution''одно из основных понятий теории ), то есть представляет собой набор вероятностей и математической статистики, с которыми случайная величина принимает те или иные значения. }}[[Файл:РаспределениеUPD. Распределение вероятностей какой-либо jpeg‎|200px|thumb|right|Геометрическое распределение с <tex>p = \dfrac {3} {4}</tex>]] Закон распределения дискретной случайной величины <tex>\xi</tex> задается в простейшем случае указанием возможных таблицей: <tex>\xi: \begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \ldots & x_n \\ p_1 & p_2 & \ldots & p_n\end{pmatrix}, </tex> где <tex>x_1 < x_2 < \ldots < x_n</tex> {{---}} всевозможные значения величины <tex>\xi,</tex> а <tex>p_i(i = 1, \ldots, n)</tex> {{---}} их вероятности, то есть <tex>p_i = P(\xi = x_i).</tex> При этом должно выполняться равенство: <tex>p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.</tex> Это равенство означает, что при испытании одно из значений этой заведомо реализуется. Таблица показывает, как суммарная вероятность <tex>100\%</tex> распределяется по возможным значениям случайной величины и соответствующих им вероятностей.  Для непрерывных случайных величин задание закона распределения в виде такой таблицы невозможно, в более сложных — тпоэтому его задают двумя другими способами: :#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8. нD1. функцией 8F|функции распределения или плотностью ]] <tex>F (x);</tex>:#С помощью [[Дискретная_случайная_величина#.D0.A4.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D1.8F_.D0.BF.D0.BB.D0.BE.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9|плотности вероятности]] <tex>f (x).</tex>

* ===Биномиальное распределение(закон Бернулли)===* {{Определение|definition=Дискретная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''биномиальной''' (англ. ''binomial random variable'') с параметрами <tex>(n, p),</tex> если она принимает значения от <tex>0</tex> до <tex>n</tex> и вероятности вычисляются по формуле <tex>p_i = P(\xi = i) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n - k},</tex> где <tex>i = 1, \ldots, n;</tex> <tex>q = 1 - p,</tex> <tex>p \in (0, 1).</tex>}} ===Нормальное распределение(распределение Гаусса)==={{Определение|definition=Непрерывную случайную величину <tex>\xi</tex> называют '''нормальной''' (англ. ''normal deviate'') с параметрами <tex>(a, \sigma)</tex> и пишут <tex>\xi = N (a, \sigma),</tex> если ее плотность вероятности дается формулой<tex>f(x) = \dfrac {1} {\sigma \sqrt{2\pi}} {\large e^{-\frac {(x - a)^2} {2\sigma^2}}}.</tex>}} * ===Равномерное распределение==={{Определение|definition=Непрерывная случайная величина <tex>\xi</tex> называется '''равномерно распределенной''' (англ. ''uniformly distributed random variable'') на <tex>[a, b],</tex> если ее плотность вероятности дается формулой <tex>f(x)=\begin{cases}\dfrac {1} {b - a}, & \mbox{if } x \in [a, b] \\0, & \mbox{otherwise.}\end{cases}</tex>}}

Рассмотрим следуйщий случайДля того, чтобы создать необходимое распределение вероятностей, достаточно иметь последовательность независимых случайных величин типа "честной монеты". Допустим Например, для создания схемы с двумя исходами $A_1$ и $A_2$:$P(A_1)=\dfrac{3}{4}$ $,$ $P(A_2)=\dfrac{1}{4}$можно из датчика случайных двоичных величин получить два результата "честной монеты" $\delta_1$ и $\delta_2$ и, например, при $\delta_1 = \delta_2 = 1$ выработать исход $A_2$, у нас есть чесная монетаа в остальных случаях $A_1$. А нам надо получить распределения  Аналогично для схемы с вероятностьями <tex>четырьмя исходами$P(A_1)=\dfrac{3}{16}$ $,$ $P(A_2)=\dfrac{1/3</tex>}{16}$ $,$ $P(A_3)=\dfrac{8}{16}$ $,$ $P(A_4)=\dfrac{4}{16}$можно получить четыре результата "честной монеты" $\delta_1$ $,$ $\delta_2$ $,$ $\delta_3$ $,$ $\delta_4$ и любым способом сопоставить трём из 16 возможных наборов исход $A_1$, одному $-$ $A_2$, восьми $-$ $A_3$, четырём $-$ $A_4$. Если же вероятности исходов не кратны $2^{-k}$, можно применить два различных варианта действий. Проведем слдующий эксперимент:#Можно приблизить вероятности двоичными дробями (с любой точностью), далее работать с полученными приближёнными значениями:#Пусть все вероятности $n_i$ $-$ дроби со знаменателем $r$. Подкинем монету дваждыНайдём $k$, для которого $r < 2^k$. И если выпадет два раза орел Предложим схему с $k$ результатами "честной монеты", в которой $r$ наборов используются для выработки случайного исхода, а остальные $2^{k}- эксперимент r$ наборов объявляются "неудачными" и требуют повторного эксперимента (пока не удалсявстретится удачный). Чем выше доля полезных исходов равная $r2^{-k}$, повторим еготем схема будет эффективнее.ПредположимКоличество результатов "честной монеты" $\lambda$, которые необходимы для формирования случайного исхода, $-$ это случайная величина. Её математическое ожидание: $E\lambda = \dfrac{1}{2}\cdot1+\dfrac{1}{4}\cdot2+\dfrac{1}{8}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot3+\dfrac{1}{16}\cdot4 = 1\dfrac{7}{8}.$ Можно сделать схему более экономной, если использовать датчик, равномерно формирующий число из диапазона $[0, 1]$. Образуем по данному набору вероятностей $p_i$ накопленные суммы $s_i$, такие, что у нас есть последовательность экспериментов$s_0 = 0; s_i = s_{i-1} + p_i,$ для $i > 0$. Случайный исход будет вырабатываться так: по полученному из датчика случайному числу $\gamma$ находится такой индекс $i$, для которого $s_{i-1} < \gamma \leqslant s_i$. Найденное значение индекса $i$ и определяет исход $A_i$. Индекс $i$ можно определять непосредственно просмотром $s_i$ подряд.  Рассмотрим приведенный выше пример с четырьмя исходам. Вероятность успеха В данном случае суммы $s_0, \ldots, s_4$ будут принимать значения <tex>0,</tex> <tex dpi = "140">p = \fracdfrac{3}{16},</tex> <tex>\dfrac{4}{16},</tex>. Вероятность неудачи <tex dpi = "140">q = 1 - p = \fracdfrac{112}{416}</tex> Сколько экспериментов и <tex>1</tex> соответственно. Значению $\gamma = 0,5$ будет проведено до тогосоответствовать $i = 3$, как то есть оно будет достигнут успех? Пусть случайная величина определять исход события $A_3.$ Таким же образом, $\gamma = 0,985$ определяет исход события $A_4.$ Если $k$ велико, можно применять специальные приёмы ускоренного поиска, например, деление множества индексов примерно пополам. ==Общий случай=={|class = "wikitable" style="text-align:center;"| рис. <tex>X1</tex> равна количествуэкспериментов, необходимых для достижения успеха|| рис. Тогда <tex>X2</tex> принимает значения || рис. <tex>3</tex>\{1,2,|-|width = "280px"| [[Файл:Sim pic1.JPG|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic2.JPG‎|270px]] ||width = "280px"|[[Файл:Sim pic3.\JPG‎|270px]] |} Допустим у нас есть распределение <tex>p.</tex> и для Нам нужно получить распределение <tex> k \ge 1 q</tex>. : Для начала рассмотрим случай, когда все <tex dpi >p_i = "140">\dfrac{p1}(X = k) = q^{k-1}p,</tex>а в распределении <tex>q </tex> количество элементарных исходов равно <tex>2</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>1).</tex> поскольку перед наступлением успешного эксперимента было проведено Проводим эксперимент: если попадаем в область пересекающуюся с <tex> q_1 </tex> и <tex> k - 1 q_2,</tex> неуспешныхто увеличиваем ее и повторяем эксперимент. Распределение вероятности, удовлетворяющее этому уравнению называется геометрическим распределениемНа рис.Так как <tex>1</tex> красным обозначено распределение <tex> q . < /tex> Вероятность того, что на этом шаге эксперимент не закончится {{---}} <tex>\dfrac{1 }{k}.</tex> можно посчитать математическое Математическое ожидание геометрического распределения. : количества экспериментов {{---}} <tex dpi = "140">E(X) = \sum\limits_dfrac{k = 0}^{k-1}, max(\inftydfrac{k}kq^{k-1}p ) = 2</tex> <tex>(</tex>при <tex>k = 2).</tex>  Теперь рассмотрим случай, когда все элементарные исходы <tex>p_i</tex> по-прежнему равновероятны <tex>(p_i = \fracdfrac{p1}{k}),</tex>а количество элементарных исходов распределения <tex>q}</tex> равно <tex>n (\sum\limits_{k j= 01}^{\inftyn}kqq_j = 1)</tex> <tex>(</tex>рис. <tex>2).</tex> Повторим эксперимент <tex> t </tex> раз. <tex> k^t \geqslant 2n, t \geqslant \log\limits_{k} = 2n </tex>  Отрезок разбился на <tex> k^t </tex> отрезков. Стык будет не более, чем в половине отрезков. Математическое ожидание количества экспериментов <tex> \approx 2t </tex>   <tex>p_i, \sum\fraclimits_{p}{qi} p_i = 1,</tex> <tex>q_j, \sum\fraclimits_{qj}{q_j = 1</tex> Берем <tex>p_i</tex>, и пусть оно максимальной длины <tex>(1 - q</tex>рис. <tex>3)^.</tex> Проводим <tex>t</tex> экспериментов. <tex>{2p_i}} = ^t < \fracdfrac{1}{p2n} =, </tex> все остальные еще меньше. Суммарная длина отрезков не больше <tex>\fracdfrac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{32}. </tex>Дисперсия вычисляется аналогично.: Нужно <tex dpi = "140">D(X) = t \geqslant \log\frac{q}limits_{p^{2}} = \fracdfrac{41}{92n} .</tex>  Таким образом, из любого исходного распределения мы можем получить нужное нам распределение.

==ЛитератураИсточники информации==*Боровков А.А. Математическая статистика: оценка параметров, проверка гипотез. {{- --}} М., Физматлит, 1984, {{---}} стр. 71.*[http://sheen.me/books/spec/apia.djvu Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн {{-- -}} Алгоритмы. Построение и анализ 1244c{{---}} М. : ООО "И. Д. Вильямс", 2013.{{---}} 1328 с. {{---}} стр. 1254.]*Романовский И. В. {{---}} Элементы теории вероятностей и математической статистики (теория и задачи): учебное пособие. {{---}} Омск, издатель ИП Скорнякова Е.В., 2012. {{---}} 189 с. {{---}} стр. 34.  [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]