Изменения

В таком виде в <tex>1977</tex> году проблема четырех красок была доказана К. Аппелем и У. Хакеном. Значительную часть проверок выполнил компьютер, из-за чего доказательство было принято не всеми математиками. Само доказательство имеет невероятные размеры, и из-за его сложности мы не сможем рассмотреть его целиком, но посмотрим на общие идеи, которые в нем используются.  Во-первыхТеперь, если [[Укладка графа на плоскости|грани]] образованные нашим планарным графом не триангуляция (то есть имеют не ровно три ребра у их границ), мы можем добавлять ребра без внедрения новых вершин до тех пор, пока все грани не станут триангулированными. Если полученный граф является раскрашиваемым в не более чем <tex>4</tex> цвета, то и исходный граф раскрашиваем так же (так как удаление ребер не увеличивает хроматическое число). Поэтому достаточно доказать теорему для триангулированных графов, и без потери общности мы предполагаем, что граф триангулирован.

Для вершины степени <tex>5</tex> аналогичное утверждение неверно, хотя оно и присутствовало в одном из первых ошибочных доказательств.  Имея дело со случаем вершины степени <tex>5</tex>, поэтому нельзя просто удалить ее. Тогда вместо <tex>1</tex> вершины будем рассматривать связанный подграф из нескольких вершин (назовем его '''конфигурацией'''). '''Сводимыми''' назовем такие конфигурации, что если при их удалении граф <tex>4</tex>-раскрашиваемый, то его окраска может быть изменена таким образом, что при возвращении конфигурации граф также можно раскрасить в <tex>4</tex> цвета. Например, конфигурация состоящая из <tex>1</tex> вершины степени не больше <tex>4</tex> является сводимой (было доказано выше). '''Неизбежной''' конфигурацией назовем такое '''множество''' конфигураций, что хотя бы одна из конфигураций этого множества обязана быть в нашем графе.

Если нам удастся найти какую-то неизбежную конфигурацию и доказать, что с ней граф <tex>G</tex> все равно <tex>4</tex>-раскрашиваем, доказательство будет завершено. Основным методом для нахождения такого набора является метод разгрузки<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Discharging_method_(discrete_mathematics) метод разгрузкиDischarging method]</ref>.

Выше мы получили неизбежную конфигурацию, состоящую из небольшого количество элементов. Подобными действиями К. Аппель и В. Хакен провели <tex>487</tex> операций разгрузки и получили неизбежную конфигурацию из <tex>1482</tex> конфигураций. Доказательством Для доказательства раскрашиваемости графов с ними и занимался был использован компьютер. Более Из-за сложности этого доказательства, мы не можем рассмотреть его целиком, поэтому более подробно ознакомиться со всеми операциями разгрузки и изучить полученные компьютером раскраски конфигураций можно в двух оригинальных статьях Аппеля и Хакена <ref>[https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256049011 Every planar map is four colorable. Part I: Discharging, p. 435]</ref><ref>[https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256049012 Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility, p. 505]</ref>.