37
правок
Изменения
Нет описания правки
Заметим, что в графе <tex> G''_1 </tex> рёбер меньше, чем в графе <tex> G </tex>. Действительно, вместо ребра <tex> e </tex> в <tex> G''_1 </tex> есть ребро <tex> e_1 </tex> и часть рёбер из графа <tex> G </tex> осталась в графе <tex> G''_2 </tex>. Аналогично, в графе <tex> G''_2 </tex> рёбер меньше, чем в графе <tex> G </tex>. <br/>
Покажем, далее, что в графе <tex> G''_1 </tex> и, аналогично, в графе <tex> G''_2 </tex> нет подграфов, гомеоморфных <tex> K_5 </tex> или <tex> K_{3,3} </tex>. Действительно, если в <tex> G''_1 </tex> имеется такой подграф, то в этом подграфе присутствует вновь присоединенное ребро, но это ребро <tex> e_1 </tex> можно заменить на цепь <br/>
<tex>a -> \to b -> \to ... -\to v </tex> v, <br/> взяв некоторую простую (b, v)-цепь <tex> P_2 </tex> в графе <tex> G'_2 </tex>. Следовательно, мы получили подграф в <tex> G </tex>, гомеоморфный <tex> K_5 </tex> или <tex> K_{3,3} </tex>, что невозможно. <br/>
Теперь в силу минимальности графа <tex> G </tex> графы <tex> G''_1 </tex> и <tex> G''_2 </tex> планарны. Возьмем укладку графа <tex> G''_1 </tex> на плоскости такую, что ребро <tex> e_1 = av </tex> лежит на границе внешней грани. Во внешней грани графа <tex> G''_1 </tex> возьмем укладку графа <tex> G''_2 </tex> такую, что ребро <tex> e_2 = vb </tex> лежит па границе внешпей грани (рис. 5).
[[Файл:p-k.5.png|thumb|right|рис. 5]]
