Изменения
Нет описания правки
# Для каких универсальных матроидов существует изоморфный ему матричный матроид?
# Докажите, что матроид Вамоса не является представимым ни над каким полем.
# Аксиоматизация циклами, часть 1. Пусть множество $\mathcal C$ удовлетворяет условиям: оно не содержит пустое множество, ни один его элемент не является подмножеством другого, и если $C_1 \in \mathcal C$, $C_2 \in \mathcal C$, тогда для любого $p \in C_1 \cap C_2$ найдется $C_3 \in \mathcal C$, $C_3 \subset C_1 \cup C_2 \setminus p$. Назовем псевдонезависимым множество, не содержащее в качестве подмножества элемента $\mathcal C$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.# Аксиоматизация циклами, часть 2. Докажите, что множество циклов матроида из предыдущего задания совпадает с множеством $\mathcal C$.# Аксиоматизация рангами, часть 1. Пусть функция $r : 2^X \to \mathbb{Z}^+$ удовлетворяет свойствам: (1) $r(A) \le |A|$, (2) если $A \subset B$, то $r(A) \le r(B)$, (3) для всех множеств $A$ и $B$ выполнено $r(A \cup B) + r(A \cap B) \le r(A) + r(B)$. Назовем псевдонезависимым множество, для которого $r(A) = |A|$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.# Аксиоматизация рангами, часть 2. Докажите, что ранговая функция матроида из предыдущего задания совпадает с функцией $r$.
# Замыканием множества $\langle A \rangle$ называется множество $\langle A \rangle = A \cup \{p | r(A \cup p) = r(A)$. Как устроено замыкание в графовом матроиде?
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
# До
# Докажите теорему о замыканиях: (1) $A \subset \langle A \rangle$, (2) если $A \subset B$, то $\langle A \rangle \subset \langle B \rangle$, (3) $\langle \langle A \rangle \rangle = \langle A \rangle$, (4) если $p \not\in \langle A \rangle$, $q \in \langle A \cup p\rangle$, то $p \in \langle A \cup q \rangle$
# Докажите теорему об аксиоматизации Аксиоматизация замыканиямичасть 1.Пусть функция $span : 2^X \to 2^X$ удовтелворяет свойствам (1)-(4) из предыдущгео задания для $\langle \rangle$. Назовем псевдонезависимым множество $A$, если для него выполнено условие $p \not\in span(A \subset p)$
# Двойственный матроид. Пусть $M = \langle X, I \rangle$ - матроид. Обозначим как $M^*$ следующую констркуцию: $M^* = \langle X, \{A | \exists B $ - база $M, A \cap B = \varnothing\}\rangle$. Докажите, что $M^*$ является матроидом.
# Циклы двойственного матроида называются коциклами. Докажите, что любая база пересекается с любым коциклом?
