Изменения
Нет описания правки
# Аксиоматизация рангами, часть 1. Пусть функция $r : 2^X \to \mathbb{Z}^+$ удовлетворяет свойствам: (1) $r(A) \le |A|$, (2) если $A \subset B$, то $r(A) \le r(B)$, (3) для всех множеств $A$ и $B$ выполнено $r(A \cup B) + r(A \cap B) \le r(A) + r(B)$. Назовем псевдонезависимым множество, для которого $r(A) = |A|$. Докажите, что псевдонезависимые множества образуют семейство независимых множеств некоторого матроида.
# Аксиоматизация рангами, часть 2. Докажите, что ранговая функция матроида из предыдущего задания совпадает с функцией $r$.
# Замыканием множества $\langle A \rangle$ называется множество $\langle A \rangle = A \cup \{p \,| \, r(A \cup p) = r(A)$. Как устроено замыкание в графовом матроиде?
# Как устроено замыкание в матричном матроиде?
# Докажите, что если $A$ независимо, то для любого $p \in A$ выполнено $p \not\in \langle A \setminus p\rangle$.
