15
правок
Изменения
Нет описания правки
|statement=
<tex> G </tex> {{---}} сеть с истоком <tex> s </tex> и стоком <tex> t </tex>.
Пусть <tex> f </tex> {{---}} поток минимальной стоимости в сети <tex> G </tex> среди потоков величины <tex> a </tex>. <tex> P </tex> {{---}} путь минимальной стоимости <tex> s \leadsto t .</tex>.
Тогда для <tex>\forall \delta : 0 \leq \delta \leq c_f(P)</tex> поток <tex>f + \delta \cdot f_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>a + \delta</tex>.
|proof=
Пусть <tex> g </tex> {{---}} поток величины <tex>a + \delta</tex> в <tex>G</tex>. Рассмотрим поток <tex>g - f</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Его величина равна <tex>\delta</tex>.
По [[Теорема о декомпозиции|теореме о декомпозиции]] его можно представить как сумму элементарных потоков вдоль путей <tex>P_i : s \leadsto t</tex> и циклов <tex>C_i</tex>. По [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|лемме]] <tex>p(C_i) = 0</tex> для всех циклов. Тогда <tex>p(g - f) = \sum\limits_{P_i} p(P_i)\cdot c_f(P_i) \geq p(P) \cdot \sum\limits_{P_i}c_f(P_i) = p(P) \cdot \delta</tex>.
Тогда <tex>\delta \cdot g_P</tex> {{---}} поток минимальной стоимости среди потоков величины <tex>\delta</tex> в сети <tex>G_f</tex>. Отсюда получаем требуемое.
}}
