Изменения

<tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \mathcal \{f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal {g\} \rangle </tex>.

|statement = <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> — матроид, <tex> f \colon X \to Y</tex>. Тогда <tex>M_1 = \langle Y, I_1 = \mathcal \{f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g\} \rangle </tex> является матроидом.

# <tex>B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1</tex><br /><tex>A \in I_1</tex>, значит <tex>\mathcal {9} exists S, S \in I</tex>, такое, что <tex> A = f(S)</tex>. <tex>B = f(S \setminus f^{-1} (A \setminus B)), (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \subset S \Rightarrow (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \in I</tex>. Значит <tex>B \in I_1</tex>.# Пусть <tex> A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), |A| > |B|</tex>. Докажем, что <tex> \mathcal {9} exists y \in A \setminus B, B \cup \mathcal\{f} y \mathcal {g\} \in I_1</tex><br /><tex>A = f(S) \Rightarrow \mathcal {9} exists S_1 \subset S, A = f(S_1), |S_1| = |A| </tex>.<br /><tex>B = f(T) \Rightarrow \mathcal {9} exists T_1 \subset T, B = f(T_1), |T_1| = |B| </tex>.<br /><tex>S_1 \in I, T_1 \in I</tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>.<br /><tex> |S_1| > |T_1| </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\mathcal {9} exists x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \mathcal\{f} x \mathcal {g\} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \mathcal\{f} x \mathcal {g\}) \in I_1</tex>.<br /><tex>f(T_1 \cup \mathcal\{f} x \mathcal {g\}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex>. Значит <tex>\mathcal {9} exists y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \mathcal\{f} y \mathcal {g\} \in I_1</tex>

|proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения объединения матроидов. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex> M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \mathcal \{f} 1 \mathcal {g\} \cup X_2 \times \mathcal \{f} 2 \mathcal {g\}, I = \mathcal \{f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \mathcal \} \rangle </tex> , где <tex> X_1 \times \mathcal \{gi \mathcal \} </tex> — декартово произведение множеств <tex> X_1 </tex> и <tex> \rangle mathcal \{ i \mathcal \} </tex> , является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \mathcal \{f} 1 \mathcal {g\} \cup X_2 \times \mathcal \{f} 2 \mathcal {g\} \to X_1 \cup X_2 </tex>, такая, что <tex>f(x \times \mathcal \{f} 1 \mathcal {g\}) \rightarrow x </tex>, <tex>f(x \times \mathcal \{f} 2 \mathcal {g\}) \rightarrow x </tex>. Тогда по вышеизложенной лемме <tex> M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \mathcal \{f} f(A) \mid A \in I \mathcal {g\} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.