32
правки
Изменения
м
Правки в док-ве следствия 2
Пусть <tex>M = \langle X, I \rangle</tex> {{---}} матроид и <tex>\mathcal{B}</tex> {{---}} семейство его баз. Тогда для всех <tex>B, \widehat{B} \in \mathcal{B}</tex> выполнено: для любого <tex>\widehat{x} \in \widehat{B} \setminus B</tex> существует такой <tex>x \in B \setminus \widehat{B}, </tex> что <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
|proof=
В случае, если существует <tex>x = \widehat{x}</tex>, утверждение очевидно. Рассмотрим противоположный.
<tex>B</tex> {{---}} база, следовательно <tex>B \in I, </tex> при этом <tex>\widehat{x} \notin B,</tex> а <tex>B \cup \widehat{x} \notin I. </tex> Тогда, по прошлому утверждению, существует <tex>x \in C \subseteq B \cup \widehat{x}, </tex> а <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x \in I.</tex>
<tex>x</tex> содержится в <tex>B \setminus \widehat{B}, </tex> так как <tex> \widehat{x} \in notin B \setminus \widehat{B} \in I, </tex> а <tex>\widehat{x}</tex> и <tex>x</tex> содержатся в <tex>C, </tex> то есть принадлежат не являющемуся независимым множеству <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus \widehat{B}) \in I. , </tex>при этом <tex>x \ne \widehat{x}. |B| = |(B \cup \widehat{x}) \setminus x|, </tex> следовательно <tex>(B \cup \widehat{x}) \setminus x</tex> {{---}} база.
}}
