Изменения

# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов. Пусть $M = MSet(A)$, а $P = Set(A)$. Докажите, что $M(t) = P(t)M(t^2)$.

# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Обозначим как $Seq^k(A)$ множество последовательностей длины $k$, каждый элемент которого является последовательностью из $k$ объектов. Найдите производящую функцию для $Seq^k(A)$.

# Пусть $A$ - семейство комбинаторных объектов с производящей функцией $A(t)$. Пусть $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел, (вес числа $k$ равен $k$). Пусть $T \subset \mathbb{N}$, обозначим как $T(t)$ производящую функцию для множества $T$. Обозначим как $Seq_T(A)$ множество последовательностей элементов из $A$, где длина последовательности лежит в множестве $T$. Обозначим как $Z$ множество из одного элемента веса $1$. Обозначим как $C^T$ множество представлений в виде суммы, где порядок слагаемых важен и слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $C^T = Seq(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $C^T$.

# Обозначим как $P^T$ множество разбиений на слагаемые, где порядок слагаемых не важен, а слагаемые выбраны из множества $T$. Осознайте, что $P^T = MSet(Seq_T(Z))$. Найдите производяющую функцию для $P^T$.

# Индекс Хирша. Докажите, что $\prod\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{1-z^n}=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{z^{n^2}}{((1-z)\cdots(1-z^n))^2}$.

# Докажите, что $\frac{1}{1-z}=\prod\limits_{j=0}^\infty(1+z^{2^j})$.