8
правок
Изменения
Новая страница: «== Определение == <math>EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})</math> <math>NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})</math> == Полнот…»
== Определение ==
<math>EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})</math>
<math>NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})</math>
== Полнота класса ''EXP'' ==
=== Существует полная в ''EXP'' задача ===
====Доказательство====
Полной задачей в <tex>EXP</tex> является задача <tex>BH_{2,D}</tex>(binary deterministic bounded halt):
<tex>BH_{2,D} =\{ <m, x, t> \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex>
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - детерминированная машина Тьюринга)
Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{|<m,x,t>|}</tex>. Таким образом, общее время работы <tex>T \le (2^{|<m,x,t>|})^{2} = 2^{2n}</tex> и <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>.
Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow <m,x,2^{p(n)}></tex> - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от <tex>n</tex> число шагов, так как запись <tex>m</tex> имеет константную длину, <tex>|x| = n</tex> и запись числа <tex>2^{p(n)}</tex> имеет длину порядка <tex>p(n)</tex> в двоичной системе.
== Полнота класса ''NEXP'' ==
=== Существует полная в ''NEXP'' задача ===
====Доказательство====
Полной задачей в <tex>NEXP</tex> является задача <tex>BH_{2,N}</tex>(binary nondeterministic bounded halt):
<tex>BH_{2,N} =\{ <m, x, t> \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex>
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - недетерминированная машина Тьюринга)
Доказательство того, что <tex>BH_{2,N}</tex> - полная задача в <tex>NEXP</tex>, аналогично предыдушему доказательству. Заметим, что при симуляции работы <tex>НМТ</tex>, в случае недетерминированного выбора симулирующая машина тоже делает недетерминированный выбор. Сведение совпадает с сведением с предыдущем доказательством.
<math>EXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}DTIME(2^{n^{i}})</math>
<math>NEXP = \bigcup^{\infty}_{i=0}NTIME(2^{n^{i}})</math>
== Полнота класса ''EXP'' ==
=== Существует полная в ''EXP'' задача ===
====Доказательство====
Полной задачей в <tex>EXP</tex> является задача <tex>BH_{2,D}</tex>(binary deterministic bounded halt):
<tex>BH_{2,D} =\{ <m, x, t> \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex>
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - детерминированная машина Тьюринга)
Докажем, что <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>. Симулируем работу детерминированной машины <tex>m</tex>. Для этого потребуется время порядка <tex>t^{2}</tex>, но <tex>t \le 2^{|t|} \le 2^{|<m,x,t>|}</tex>. Таким образом, общее время работы <tex>T \le (2^{|<m,x,t>|})^{2} = 2^{2n}</tex> и <tex>BH_{2,D} \in EXP</tex>.
Докажем, что любая задача из <tex>EXP</tex> сводится к <tex>BH_{2,D}</tex>. Пусть <tex>L \in EXP, MT\enskip m</tex>, допускающая язык <tex>L</tex>, работает за время <tex>T \le 2^{p(n)}</tex>, где <tex>p(n)</tex> - полином. Рассмотрим <tex>f : x \rightarrow <m,x,2^{p(n)}></tex> - функция сведения. Чтобы выписать свой результат на ленту ей потребуется полиномиальное от <tex>n</tex> число шагов, так как запись <tex>m</tex> имеет константную длину, <tex>|x| = n</tex> и запись числа <tex>2^{p(n)}</tex> имеет длину порядка <tex>p(n)</tex> в двоичной системе.
== Полнота класса ''NEXP'' ==
=== Существует полная в ''NEXP'' задача ===
====Доказательство====
Полной задачей в <tex>NEXP</tex> является задача <tex>BH_{2,N}</tex>(binary nondeterministic bounded halt):
<tex>BH_{2,N} =\{ <m, x, t> \mid m(x) = 1, T(m,x) \le t \}</tex>
(<tex>t</tex> задаётся двоичной записью, <tex>m</tex> - недетерминированная машина Тьюринга)
Доказательство того, что <tex>BH_{2,N}</tex> - полная задача в <tex>NEXP</tex>, аналогично предыдушему доказательству. Заметим, что при симуляции работы <tex>НМТ</tex>, в случае недетерминированного выбора симулирующая машина тоже делает недетерминированный выбор. Сведение совпадает с сведением с предыдущем доказательством.
