Изменения
Нет описания правки
[[Математическое ожидание случайной величины| Матожидание]] можно преобразовать:
<tex>{E} (e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}}) = \prod_prod\limits_{i = 1}^{n}{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex>
Оценим <tex>{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex> с учётом того, что <tex>p \in [0, 1]</tex>
<tex>{E}(e^{t \bar{X_i}}) = p e^{tq} + qe^{-pt} \leqslant e ^ {\frac{t^2}{8}}</tex>
<tex>{P}(e^{ t\sum_sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n}) \leqslant \dfrac{e^{n\frac{t^2}{8}}}{e^{t \delta n}}</tex>
При <tex>t = 4\delta</tex>:
<tex>\mathbb {P}(e^{ t\sum_sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}} \geqslant e^{t \delta n}) \leqslant e^{-2 \delta^2 n}</tex>
Аналогично доказывается, что: <tex>{P} (\dfrac{1}{n} \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m \leqslant -\delta) \leqslant e^{-2 \delta^2 n}</tex>
Таким образом: <tex>{P} (|\dfrac{1}{n} \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{n} m| \geqslant \delta) \leqslant 2e^{-2 \delta ^2 n}</tex>
}}
Пусть монетку подбросили 1000 раз. Оценить вероятность того, что выпало больше 550 орлов.
<tex>m = {E} \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i = n{E} X_i = \dfrac{n}{2}</tex>
<tex>\delta = \dfrac{1}{20}</tex>
<tex>{P} (|\dfrac{1}{n} \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i - \dfrac{1}{2}| \geqslant \dfrac{1}{20}) \leqslant 2e^{-2 \dfrac{1000}{400}} = 2e^{-5}</tex>
== См. также ==
