89
правок
Изменения
м
Нет описания правки
}}
==Некоторые вспомогательные определения и леммыПроизводящая функция моментов==
{{Определение
|definition = '''Производящая функция моментов''' (англ. ''moment-generating function'') случайной величины <tex>X</tex> {{---}} функция из <tex>\mathbb R</tex> в <tex>\mathbb R</tex>, определяемая и определяется как: <br><tex>M_x(t) =</tex> <tex>{E}(e^{tX})</tex>.}} {{Определение |definition = Распишем производящую функцию моментов по формуле Тейлора: <br><tex>M_x(t) =</tex> <tex>{E}(e^{tX}) =</tex> <tex>{E}(1 + tX + \dfrac{1}{2}t^2 X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n!}t^n X^n + \cdots ) =</tex> <tex>\sum\limits_{i = 1}^{\infty} \dfrac{1}{i!} {E}(X^i)</tex> <br>Величина <tex>{E}(X^i)</tex> называется '''i-ым моментом''' (англ. ''i-th moment'') случайной величины <tex>X</tex>.
}}
{{Лемма
|about= О производящей функции моментов суммы случайных величин
|id=lemma1
|statement= Если <tex>X = \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i</tex>, где <tex>X_1 X_2 \cdots X_n</tex> {{---}} независимые случайные величины, то:<br>
<tex>M_X(t) =</tex><tex> \prod\limits_{i=1}^{n} M_{X_i} (t)</tex>
|proof= <tex>M_X(t) =</tex> <tex>{E}(e^{tX}) =</tex> <tex>{E}(e^{t \sum_sum\limits_{i=1}^{n} {X_i}}) = </tex> <tex>{E}( {\prod_prod\limits_{i=1}^{n} {e^{t X_i}}}) =</tex> <tex>\prod_prod\limits_{i=1}^{n} {{E}( {e^{t X_i}}}) =</tex> <tex> \prod\limits_{i=1}^{n} M_{X_i} (t)</tex>
}}
{{Лемма
|about= Об ограниченности производящей функции моментов
|id=lemma2
|statement= <tex>X</tex> {{---}} независимая случайная величина принимающая значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>, <tex>{P}(X = 1) = p</tex>, <tex>{P}{(X = 0) = 1 - p}</tex>, тогда для любого <tex>t \in \mathbb{R}</tex>: <br>
[[Математическое ожидание случайной величины| Матожидание]] можно преобразовать по :
<tex>{E} (e^{ t\sum\limits_{i=1}^{n}\bar{X_i}}) = </tex> <tex>{E}(\prod\limits_{i = 1}^{n}{e^{\bar{X_i}}}) = </tex> <tex>\prod\limits_{i = 1}^{n}{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex>
Оценим <tex>{E}(e^{t \bar{X_i}})</tex> с учётом того, что <tex>p \in [0, 1]</tex>
| statement = Пусть даны <tex>X_1 X_2 \ldots X_n</tex> {{---}} независимые случайные величины, принимающие значения из множества <tex>\{0, 1\}</tex>, <tex>{P}(X_i = 1) = p</tex>, <tex>{P}{(X_i = 0) = 1 - p}</tex>
<tex>X = \sum_sum\limits_{i=1}^{n} X_i</tex>
<tex>m = {E}X = np</tex>
| proof =
По [[Неравенство Маркова| неравенству Маркова]]:
<tex>{P}(x \geqslant a) =</tex> <tex>{P}(e^x \geqslant e^a) \leqslant </tex> <tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a}</tex>
Воспользуемся [[#lemma1|первойлеммой о производящей функции моментов суммы случайных величин ]] и [[#lemma2|второйлеммой об ограниченности производящей функции моментов]] леммами:
<tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a} \leqslant</tex> <tex>\dfrac{\prod\limitslimits_{i = 1}^{n}e^{p(e^t - 1)}}{e^{a}} =</tex> <tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limitslimits_{i = 1}^{n}p}}{e^{a}}</tex>
Заметим, что <tex>\sum\limitslimits_{i = 1}^{n} p = m</tex>, кроме того <tex>a = (1 + \delta)m</tex> (по замене).
<tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limitslimits_{i = 1}^{n}p}}{e^{a}} = </tex> <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex>
Функция <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex> принимает своё минимальное значение в точке <tex>t = \ln (1 + \delta)</tex>
