403
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
1. <tex>\Longrightarrow</tex> Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
2. <tex>\Longleftarrow</tex> <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
{{TODO|t=казалось бы, причём здесь компакт?}}
казалось бы, тут всё хорошо
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
|proof=
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilonvarepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilonvarepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
Так как <tex>K</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.
Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\ddots$ \\
\end{tabular}
</tex>
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к себе, значит, по полноте, у неё есть предел.
}}
