403
правки
Изменения
м
1) #<tex> \Delta x < 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \le 0 \Rightarrow f'(x_0) \le 0 </tex>#<tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
2) <tex> \Delta x > 0 \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} \ge 0 \Rightarrow f'(x_0) \ge 0 </tex>
маленькие поправки
{{В разработке}}
== Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке ==
{{Определение
|definition=
Ферма
|statement=
Пусть <tex> f(x) </tex> существует и дифференцируема в <tex> O(x_0) </tex>, и <tex> x_0 </tex> {{- --}} точка локального экстремума. Тогда <tex> f'(x_0) = 0.</tex>
|proof=
Рассмотрим случай, когда <tex> x_0 </tex> {{- --}} точка локального минимума. Случай с локальным максимумом доказывается аналогично.
<tex dpi= "150"> \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}</tex>; рассмотрим <tex> \Delta x \approx 0 </tex>.
Возможны 2 случая для <tex> \Delta x </tex>:
Отсюда, <tex> f'(x_0) = 0 </tex>.
}}
Замечание: обратная теорема не всегда верна, например, <tex> y(x) = x^3, y'(0) = 0,</tex> но <tex> y(0) </tex> {{- --}} не экстремум.
{{Определение
}}
== Теорема Ролля о нулях производной ==
{{Теорема
Рассмотрим 2 случая:
1) Обе точки граничные, то есть <tex> x_1, x_2 </tex> находятся на концах отрезка. Тогда, так как <tex> f(a) = f(b) </tex>, то <tex> f_{max}[a; b] = f_{min}[a; b] </tex>. Значит, <tex> f(x) </tex> на <tex> [a; b] </tex> {{- --}} константа, то есть <tex>\forall c \in (a; b) \ f'(c) = 0</tex>
2) Хотя бы одна из точек <tex> x_1, x_2 </tex> не граничная. Пусть это, например, <tex> x_1 </tex>. Тогда по теореме Ферма <tex> f'(x_1) = 0</tex>.
Замечание: для непрерывной функции на заданном отрезке ей принимаются все значения между двумя граничными значениями. Такое же свойство выполняется и для ее производной, хотя она может быть уже разрывной.
== Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной ==
{{Теорема
<tex> D \in [A; B] \Rightarrow g'(x_1) < 0, g'(x_2) > 0 </tex>.
По определению производной, <tex dpi = '150'> g'(x_1) = \frac{g(x_1 + \Delta x) - g(x_1)}{\Delta x} </tex>
При <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x > 0 \ g(x_1 + \Delta x) < g(x_1) </tex>
Аналогично рассмотрим <tex> g'(x_2) </tex>: при <tex> \Delta x \approx 0, \Delta x < 0 \ g(x_2 + \Delta x) < g(x_2) </tex>
Функция <tex> g(x) </tex> {{- --}} дифференцируема, а значит, также и непрерывна на <tex> [x_1, x_2] </tex>, поэтому на этом отрезке существуют минимальное и максимальное значения функции. Из двух предыдущих неравенств следует, что минимальное значение достигается не в граничной точке.
Пусть оно достигается в точке <tex> d \in (x_1; x_2) </tex>, тогда по теореме Ферма в этой точке <tex> g'(d) = 0</tex>. Значит, <tex> f'(d) = g'(d) + D = D </tex>.
}}
== Формула конечных приращений Лагранжа ==
{{Теорема
}}
== Формула конечных приращений Коши ==
{{Теорема
Пусть <tex> f, g </tex> непрерывны на <tex> [a; b] </tex> и дифференцируемы на <tex> (a; b) </tex>, <tex> g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a; b)</tex>. Тогда <tex> \exists c \in (a; b): </tex> <tex dpi = '150'> \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} </tex>.
|proof=
Для начала, докажем, что дробь в левой части равенства определена: по теореме Лагранжа, <tex> g(b) - g(a) = g'(d)(b - a) </tex> для некоторого <tex>d</tex>, по условию, правая часть не равна нулю, значит, <tex>g(b) - g(a) \ne 0</tex>.
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex> F(x) = f(x) - f(a) - k(g(x) - g(a)), k = </tex> <tex dpi = '150'>\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} </tex>.
}}
Замечание: при <tex>g(x) = x </tex> получаем частный случай формулы Коши {{- --}} формулу Лагранжа.
== Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей ==
Из формулы Коши можно получить раскрытие неопределенностей вида <tex> \frac{0}{0} </tex>, <tex> \frac{\infty}{\infty} </tex>(в числителе и знаменателе дроби получаются нулевые или бесконечные значения). Это правило называют '''правилом Лопиталя''':
