Изменения
Нет описания правки
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = o(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. не содержит полного паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
# Рассмотрим случайный двудольный $G(n, n, p)$, пусть $p = \omega(\frac{\log n}{n})$. Докажите, что $G$ а.п.н. содержит полное паросочетание. Указание: используйте лемму Холла.
# Указание: в этом и следующих заданиях используйте вероятностный метод. Если вероятность, что объект обладает некоторым свойством, больше 0, то существует объект с таким свойством. Если матожидание числа объектов с некоторым свойством больше 0, то существует объект с таким свойством. Число Рамсея $R(a, b)$ - величина, такая что граф, содержащий хотя бы $R(a, b)$ вершин обязательно содержит или клику размера $a$ или независимое множество размера $b$. Оцените сверху вероятность, что граф из $G(n, \frac 12)$ содержит клику размера $k$ или независимое множество размера $k$. Сделайте вывод о нижней границе на число Рамсея: $R(k, k) \ge 2^{k/2}-1}$.
# Докажите, что существует турнир, в котором как минимум $\frac {n!}{2^{n-1}}$ гамильтоновых путей.
# Докажите, что любой граф с $n$ вершинами и $m$ ребрами содержит двудольный подграф с как минимум $\frac m2$ ребрами.
