89
правок
Изменения
м
→Теоремы о связи вероятности и матожидания
{{Теорема
|id=th1
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z ] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant EZ E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th2
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>EN_z E[N_z] \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>EZE[Z^2 = ] \leqslant (EZE[Z])^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(EN_z E[N_z] - N_z \geqslant EN_zE[N_z]) \leqslant P(|EN_z E[N_z] - N_z| \geqslant EN_zE[N_z]) \leqslant \dfrac{DN_zD[N_z]}{(EN_zE[N_z])^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}
