Изменения

# Язык $COL$ определяется следующим образом: $COL = \{\langle G, k\rangle|\mbox{в графе $G$ есть раскраска в $k$ цветов}\}$. Докажите, что $COL\in NP$.

# Об оптимизации и проверке предиката. В предыдущих четырех заданиях гораздо логичнее было бы спросить "какой максимальный размер независимого множества в графе", "какое минимальное вершинное покрытие в графе", "в какое минимальное число цветов можно раскрасить граф". Аргументируйте, что постановка в формате проверки предиката с точки зрения полиномиальной разрешимости не хуже.

# В определении $NP$ мы говорим, что при любом недетерминированном выборе программа должна завершиться не более чем за $p(n)$, где $p$ - полином, а $n$ - длина входа. На самом деле это требование может быть ослаблено, можно требовать, чтобы программа завершалась не более чем за $p(n)$ только в случае допуска. Докажите, что в таком определении класс $NP$ не меняется.

# $PRIMES\in NP$. Язык $Primes$ определяется следующим образом: это множество двоичных записей простых целых чисел. Доказательство принадлежности $PRIMES$ классу $NP$ разбито на два задания. Часть 1. Известно, что если $n$ простое, то существует $g$, такое что $g^{n-1}=1\pmod n$ и для всех $1 \le k < n - 1$ выполнено $g^k \ne 1 \pmod n$. Пусть известно разложение $n-1$ на простые множители: $n-1=q_1^{a_1}q_2^{a_2}\ldots q_k^{a_k}$. Предложите полиномиальный алгоритм проверки, что заданное $g$ удовлетворяет описанному условию.

# Часть 2. Можно недетерминированно выбрать $g$ и недетерминированно угадать разбиение $n-1$ на простые множители. Однако это требует проверки на простоту, чтобы убедиться, что угадано разложение именно на простые множители. Завершите доказательство, что $PRIMES \in NP$, описав рекурсивную процедуру проверки и доказав, что она работает за полиномиальное время.