Изменения
Нет описания правки
# Петя заинтересовался, что будет, если последовательность, заданная линейным рекуррентным соотношением, имеет производящую фукнцию, в знаменателе которой стоит $Q(t)=(1-ct)(1+ct)$, ведь тогда асимптотическое поведение членов на четных и нечетных позициях разное. Разберитесь.
# Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_0=a_1=1$, $a_n = 2a_{n-1}-2a_{n-2}$. Оцените асимптотическое поведение $a_n$ при $n\to+\infty$.
# Пусть рациональная производящая функция имеет вид $A(s) = \frac {P(s)}{Q(s)}$, где единственный минимальный по модулю корень $Q(s)$ равен $1 / \beta$ и имеет кратность $k$. Тогда $a_n \approx C \beta^n n^{k-1}$. Покажите, что $C = k \frac {(-\beta)^n k P(1 / \beta)} {Q^{(k)}(1 / \beta)}$
# Докажите, что если последовательность $a_n$ допускает представление в виде $a_n = \sum_i p_i(n)q_i^n$, где $p_i(n)$ - полиномы, и все $q_i$ различны, то такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.
# Произведением Адамара двух производящих функций $A(t)$ и $B(t)$ называется призводящая функция для ряда $C(t) = a_0b_0+a_1b_1t+a_2b_2t^2+\ldots+a_nb_nt^n+\ldots$. Докажите, что если $A(t)$ и $B(t)$ являются отношениями двух полиномов, то таким же свойством обладает и $C(t)$.
